\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\def\e{\hbox{\rm e}}
\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°11}
\lfoot{}
\cfoot{A rendre pour le 19 Février 2021.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°11}

\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - Obligatoire pour les groupes 5 à 10}
On consid\`{e}re l'application
\[
f: \R  \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto f\left(
x\right)  = x  e^{x^2-1}.
\]


\subsection*{Partie I : \'{E}tude et repr\'{e}sentation graphique de $f$}

\begin{enumerate}
\item L'ensemble de définition de la fonction $f$, $\R$ est symétrique. De plus,
$$
\forall x \in \R, f(-x) = -x e^{(-x)^2 - 1} = - x e^{x^2 - 1} = - f(x)
$$
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est donc impaire. }
\end{center}

Graphiquement, la courbe représentative de $f$ admet le point O comme centre de symétrie.

\item On sait que 
\begin{itemize}
\item La fonction $x \to x^2 - 1$ est dérivable sur $\R$.
\item La fonction $X \to e^X$ est dérivable sur $\R$.
\item La fonction $x \to x$ est dérivable sur $\R$.
\end{itemize}
Par produit et composée de fonctions dérivables,  
\begin{center}
\fbox{$f$ est d\'{e}rivable sur $\R$.}
\end{center} 
On a pour tout $x \in \R$, 
\begin{align*}
f'(x) & = e^{x^2 - 1} + 2x^2 e^{x^2 - 1} \\
& \boxed{= (1 + 2x^2) e^{x^2 - 1}}
\end{align*}

\item La dérivée est positive pour tout $x$ réel. \begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est donc croisante sur $\R$. }
\end{center}

\item On calcule
$$
\li_{x \to - \infty} f(x) = - \infty, \qquad \li_{x \to + \infty} f(x) = + \infty
$$
Tableau de variation de $f$ 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Variations de $f$/2}{$-\infty$,$+ \infty$}
\tkzTabVar{-/$- \infty$,+/$+ \infty$,}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 

\item On résout pour $x \in \R$, l'équation 
\begin{align*}
f(x) - x = 0 & \Longleftrightarrow x e^{x^2 - 1} - x = 0 \\
& \Longleftrightarrow x \left( e^{x^2 - 1} - 1 \right) = 0 \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad e^{x^2 -1} - 1 = 0 \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad e^{x^2 -1}  = 1 \\ 
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad x^2 - 1  = 0 \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1  \\
\end{align*}
L'ensemble des solutions est 
\begin{center}
\fbox{$
\mathcal{S} = \{ -1, 0 , 1 \}
$}
\end{center}

\item On résout l'inéquation $f(x) - x > 0$ à l'aide d'un tableau de signe. On résout alors l'inéquation 
\begin{align*}
e^{x^2 - 1}  - 1 > 0 & \Longleftrightarrow e^{x^2 - 1} > 1 \\
& \Longleftrightarrow x^2 - 1 > 0 \\
& \Longleftrightarrow (x-1)(x+1) >0 \\
& \Longleftrightarrow x \in ]- \infty ; -1[ \cup ]1;+\infty[. 
\end{align*}
d'où le tableau de signe de $f$ 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $x$/1, Signe de $e^{x^2 - 1} - 1$/1,  Signe de $f(x) - x$/1}{$-\infty$,$-1$, $0$, $1$, $+ \infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 

\item La fonction $f$ est dérivable au point $x = 0$ et $f'(0) = e^{-1}$ et $f(0) = 0$. La fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $1$ en $x = 0$ et 
\begin{center}
\fbox{$
f(x) = x e^{-1} + x \varepsilon (x)
$
avec $\li_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0$.}
\end{center}

\item Tracer l'allure de $C$. On pr\'{e}cisera la tangente au point d'abscisse
$0.$ On tracera sur le même graphique la droite d'équation $y = x$. 
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II : \'{E}tude d'une suite r\'{e}currente associ\'{e}e
\`{a} $f.$}

On consid\`{e}re la suite r\'{e}elle $\left(  u_{n}\right)  _{n\in \mathbb{N}}$
d\'{e}finie par $u_{0} \in \R^+$ et, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $u_0 \in ]0;1[$. 
\begin{enumerate}
\item On montre par récurrence les propositions :
\begin{center}
$\P_n = \{ u_n \in ]0;1[ \}$. \\
\end{center}

\noindent {\bf Initialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0  \in ]0;1[$. La  proposition $\P_0$ est donc vraie. \\ 

{\bf Hérédité :} On suppose la proposition $\P_n$ vraie pour un certain rang $n \geq 0$. 
On a alors 
\begin{align*}
0 \leq u_n \leq 1 \Longrightarrow & f(0)  \geq f(u_n) \geq f(1) \quad \text{La fonction $f$ est croissante} \\
\Longrightarrow & \; 0  \geq u_{n+1} \geq 1 
\end{align*}
 La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.

{\bf Conclusion :} On a 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, u_{n} \in [0;1]$}
\end{center}
\item On a montré précédemment que pour tout $x \in [0,1]$, $f(x) - x < 0$. Or comme pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$, on a 
$$
u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n <  0
$$
\begin{center}
 \fbox{La suite $(u_n)$ est décroissante.}
 \end{center} 
\item La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. D'après le théorème de convergence monotone, 
\begin{center}
 \fbox{ la suite $(u_n)$ est convergente.}
 \end{center} 
La fonction $f$ est continue sur $[0,1]$ et pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. De plus la suite $(u_n)$ est convergente. Notons $\ell$ sa limite. En appliquant le théorème du point fixe, on a nécessairement 
\begin{align*}
\ell = f(\ell) & \Longleftrightarrow f(\ell) - \ell = 0
\end{align*}
D'après la question $5$, on sait que les solutions de cette équations sont $\ell = -1$, $\ell = 0$ ou $\ell = 1$. Or pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$ donc la solution $\ell = -1$ est impossible. Supposons que $\ell = 1$. Comme la suite est décroissante $u_n \geq 1$ pour tout $n \in \N$, ce qui est absurde. Donc $\ell \neq 1$ et finalement 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to + \infty} u_n = 0
$}
\end{center}
\end{enumerate}


%\item On suppose dans cette question que $u_0 =e$. 
%\begin{enumerate}
%\item Pour tout $ x > 2$, on pose la fonction $h : x \to xe^{x^2  - 1} - x - 1$. Cette fonction est dérivable et la dérivée est 
%$$
%h'(x) = (1+2x^2)e^{x^2 - 1} - 1
%$$
%Or $x^2 > 1$ donc $e^{x^2 - 1} > 1$ et donc $(1+x^2) e^{x^2 - 1} > 1$. La fonction $h$ est strictement croissante. De plus 
%$$
%h(2) = 2 e^{2^2 - 1} -2 - 1 = 2 e^{3} - 3.
%$$
%Or $e^{3} > e > 2$ et donc $2 e^3 - 3 > 1$ et donc 
%\begin{center}
%\fbox{pour tout $x > 2$, \quad $xe^{x^2 - 1} \geq x+1$}
%\end{center}
%\item On montre par récurrence les propositions :
%\begin{center}
%$\P_n = \{ u_n \geq 2+n \}$. \\
%\end{center}
%
%\noindent {\bf Initialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0 = e \geq 2$. La  proposition $\P_0$ est donc vraie. \\ 
%
%{\bf Hérédité :} On suppose la proposition $\P_n$ vraie pour un certain rang $n \geq 0$. 
%On a alors 
%\begin{align*}
%u_n > 2+n \Longrightarrow &  f(u_n) \geq f(2+n) \quad \text{La fonction $f$ est croissante} \\
%\Longrightarrow & 2  \geq u_{n+1} \geq f(2+n) \geq 2+n + 1 
%\end{align*}
% La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
%
%{\bf Conclusion :} On a 
%\begin{center}
%\fbox{$\forall n \in \N, u_{n} > 2+n$}
%\end{center}
%
%\item On sait que $\li_{n \to + \infty} 2 + n = + \infty$. Par comparaison la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est divergente et 
%\begin{center}
%\fbox{$
%\li_{n \to + \infty} u_n  = + \infty
%$
%}
%\end{center}
%\end{enumerate}

\item On suppose enfin que $u_0 > 1$. 
\begin{enumerate}
\item On montre par récurrence les propositions :
\begin{center}
$\P_n = \{ u_n > 1 \}$. \\
\end{center}

\noindent {\bf Initialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0  > 1$. La  proposition $\P_0$ est donc vraie. \\ 

{\bf Hérédité :} On suppose la proposition $\P_n$ vraie pour un certain rang $n \geq 0$. 
On a alors 
\begin{align*}
u_n > 1 \Longrightarrow & f(u_n) > f(1) \quad \text{La fonction $f$ est croissante} \\
\Longrightarrow & \; u_{n+1} > 1 
\end{align*}
 La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.

{\bf Conclusion :} On a 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, u_{n} > 1$}
\end{center}

\item On a vu à la question 6 que pour tout $x > 1$, $f(x) - x > 0$. Or pour tout $n \in \N$, $u_n > 1$. On a alors 
$$
u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n  > 0
$$
\begin{center}
\fbox{La suite $(u_n)$ est alors croissante. }
\end{center}
 
\item Supposons que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$. La suite étant croissante, on a alors pour tout $n \in \N$, $u_n \geq \ell$. D'autre part, la fonction $f$ étant continue sur $[1;+\infty[$, le théorème du point fixe impose que $\ell$ vérifie l'équation
\begin{align*}
\ell = f(\ell) & \Longleftrightarrow \ell \in \{ - 1 ; 0 ;1 \}
\end{align*} 
Les solutions sont toutes impossibles et il y a donc une absurdité. 
\begin{center}
\fbox{la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est divergente.}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Dans cette question $u_0 = e$. \'{E}crire un programme Scilab qui calcule et affiche le plus
petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geq10^{20}.$
\begin{verbatim}
u = %e
n = 0
while u < 10^(20) 
    u = u * exp(u^2 - 1) 
    n = n + 1
end
disp(n)
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Obligatoire pour tous les groupes}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définie sur $]0; + \infty[$ par : 
$$
\forall x \in ]0; + \infty[, \quad f(x) = 2 - \dfrac{1}{2} \ln(x) \quad \text{et} \quad g(x) = f(x) - x.
$$
On considère aussi la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par : 
$$
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \N, \quad u_{n+1} = f(u_n)
$$
\begin{enumerate}
\item On a $g(x) = 2 - \dfrac{1}{2} \ln(x) - x$ donc
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to + \infty} g(x) = - \infty
$}
\end{center}
On a également
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \tos 0} g(x) = + \infty .
$}
\end{center}
\item La fonction $g$ est dérivable pour tout $x \in ]0; + \infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$,
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in ]0; +\infty[, \quad g'(x) = - \dfrac{1}{2x} - 1 = - \dfrac{1+2x}{x} < 0
$}
\end{center}
On a alors le tableau des variations de $g$ sur $]0 ; + \infty[$ : 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{0,$+ \infty$}
\tkzTabLine{,-, }
\tkzTabVar{+/$+ \infty$,-/$- \infty$,}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
\item On a les assertions suivantes: 
\begin{itemize}
\item La fonction $g$ est continue sur $]0; + \infty[$ (on a montré qu'elle est dérivable sur $]0; + \infty[$). 
\item La fonction $g$ est strictement décroissante sur  $]0; + \infty[$.
\item Enfin $ 0 \in g(]0;+ \infty[) = \R$.
\end{itemize}
D'après le théorème de la bijection, 
\begin{center}
\fbox{l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.}
\end{center}
On la note $\alpha$.
\item On sait que $g(1) = 2-0-1 = 1 >0$ et $g(e) = 2 - \dfrac{1}{2} - e= 1,5 - e <  0$. D'après le théorème de Bolzanno, la solution de $g(x) = 0$ est dans $[1,e]$. De plus $g(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow f(\alpha) = \alpha$. On a bien 
\begin{center}
\fbox{ $\alpha \in [1, e]$ et $f(\alpha) = \alpha$. }
\end{center}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+ \infty[$ en tant que somme de fonctions continues sur $]0;+\infty[$. On a 
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in ]0;+\infty[, \quad f'(x) = - \dfrac{1}{2x} < 0
$}
\end{center}
On observe que 
\begin{center}
\fbox{la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.}
\end{center}

\item On montre par récurrence les propositions :
\begin{center}
$\P_n = \{ 1 \leq u_n \leq e \}$. \\
\end{center}

\noindent {\bf Intialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0 = 1 \in [1,e]$. La  proposition $\P_0$ est donc vraie. \\ 

{\bf Hérédité :} On suppose la proposition $\P_n$ vraie pour un certain rang $n \geq 0$. 
On a alors 
\begin{align*}
1 \leq u_n \leq e \Longrightarrow & f(1)  \geq f(u_n) \geq f(e) \quad \text{La fonction $f$ est décroissante} \\
\Longrightarrow & 2  \geq u_{n+1} \geq 2 - \dfrac{1}{2} \quad  \\
\Longrightarrow & e  \geq u_{n+1} \geq 1
\end{align*}
 La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.

{\bf Conclusion :} On a 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, u_{n} > 1$}
\end{center}
\item Pour tout $x \in [1,e]$, $|f'(x)| = \dfrac{1}{2x}$. Or, $x \geq 1 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2x} \leq \dfrac{1}{2}$. Donc
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in [1,e], \quad |f'(x)| \leq \dfrac{1}{2}.
$}
\end{center}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[1;e]$ et $|f'(x)| \leq \dfrac{1}{2}$. De plus $u_n \in [1;e]$ (question 6) et $\alpha \in [1;e]$ (question 4). En appliquant l'inégalité des accroissements finis, on a pour tout $n \in \N$,
\begin{align*}
& |f(u_n) - f(\alpha)| \leq \dfrac{1}{2} |u_n - \alpha| \\
\Longleftrightarrow & \boxed{|u_{n+1} - \alpha | \leq \dfrac{1}{2} |u_n - \alpha|}
\end{align*}
\item On montre par récurrence les propositions :
\begin{center}
$\P_n = \{| u_n - \alpha| \leq \dfrac{e-1}{2^n} \}$. \\
\end{center}

\noindent {\bf Intialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0 = 1$ et $\alpha \in [1,e]$ donc $|u_0 - \alpha|  = \alpha - u_0 \leq e-1$. La  proposition $\P_0$ est donc vraie. \\ 

{\bf Hérédité :} On suppose la proposition $\P_n$ vraie pour un certain rang $n \geq 0$. 
On a alors 
\begin{align*}
&|u_{n+1} - \alpha| \leq \dfrac{1}{2} |u_n - \alpha| \quad \text{d'après la question précédente} \\
\Longrightarrow & |u_{n+1} - \alpha|  \leq \dfrac{1}{2} \times \dfrac{e-1}{2^n} \quad \text{hypothèse de récurrence} \\
\Longrightarrow & |u_{n+1} - \alpha |  \leq  \dfrac{e-1}{2^{n+1}} 
\end{align*}
 La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.

{\bf Conclusion :} On a 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, |u_{n}-\alpha| \leq \dfrac{e-1}{2^{n}} $}
\end{center}
\item 
On a 
$$
\li_{n \to + \infty} \dfrac{e-1}{2^n} = 0
$$
En appliquant le théorème des gendarmes, 
\begin{center}
\fbox{la suite  $(u_n)_{n \in \N}$ converge et $\li_{n \to + \infty} u_n = \alpha$.}
\end{center}
 
\item {\bf \'Etude Scilab.} 
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire une fonction Scilab prenant en argument d'entrée un nombre réel $x$ et permettant de calculer $f(x)$. 

\begin{verbatim}
function y = f(x) 
    y = 2 - 1/2 * log(x)
endfunction
\end{verbatim}

\item \'Ecrire un script permettant de tracer avec Scilab la fonction $f$ entre $1$ et $e$. (On prendra un minimum de 1000 points pour tracer la courbe)

\begin{verbatim}
x = linespace(1,exp(1),1000)
plot(x,f)
\end{verbatim}

\item \'Ecrire une fonction Scilab prenant en argument d'entrée un entier $n$ et donnant le résultat de $u_n$. 

\begin{verbatim}
function y = u(n)
    y= 1 
    for k = 1:n 
        y = f(y)
    end
endfunction
\end{verbatim}

\item La question 9 nous donne l'inégalité suivante, 
$$
|u_n - \alpha | \leq \dfrac{e-1}{2^n} 
$$
Or si $n = \left\lfloor \dfrac{\ln(10^5 (e-1))}{\ln(2)} \right\rfloor + 1$, alors 
\begin{align*}
n \geq \dfrac{\ln(10^5 (e-1))}{\ln(2)} & \Longrightarrow n \ln(2) \geq  \ln(10^5 (e-1)) \\
& \Longrightarrow \ln(2^n) \geq \ln(10^5 (e-1)) \\
& \Longrightarrow 2^n \geq 10^5(e-1) \\
& \Longrightarrow \dfrac{2^n}{e-1} \geq 10^5 \\
& \Longrightarrow \dfrac{e-1}{2^n} \leq 10^{-5} \\
& \Longrightarrow \boxed{|u_n -  \alpha| \leq 10^{-5}}
\end{align*}
 
\item \'Ecrire un script permettant de déterminer (en utilisant la suite $(u_n)$) une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-5}$ près. 
\begin{verbatim}
n = floor( log((10^5)*(%e - 1)) / log(2) ) +1 
disp(u(n))
\end{verbatim} 
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\section*{Exercice 3 - Obligatoire pour les groupes 1 à 4}


Soit $a$ un r\'{e}el strictement positif. On consid\`{e}re la fonction $f_{a}
$ d\'{e}finie pour tout r\'{e}el $t$ strictement positif par \ : 
\begin{equation*}
f_{a}\left( t\right) =\frac{1}{2}\left( t+\frac{a^{2}}{t}\right) 
\end{equation*}%
ainsi que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ de nombre r\'{e}%
els d\'{e}termin\'{e}e par son premier terme $u_{0}>0$ et par la relation de
r\'{e}currence : 
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N\qquad }u_{n+1}=f_{a}\left( u_{n}\right) 
\end{equation*}

\subsection*{Etude des variations de la fonction $f_{a}$}

\begin{enumerate}
\item On a $\lim\limits_{t \to +\infty} \frac{1}{2}t = + \infty$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{a^2}{t} = 0$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty} f_a(t) = + \infty$.

De plus, la droite d'équation $y= \frac{1}{2}t$ est asymptote à la courbe en $+ \infty$ car 
\[ \lim\limits_{t \to +\infty} f_a(t) - \frac{1}{2}t = 0 . \]

Et comme $\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{t}>0$ alors la courbe repr\'{e}sentative
de $f_{a}$ est au dessus de l'asymptote.

\item En $0^{+}:f_{a}\left( t\right) =\frac{1}{2}\left( t+\frac{a^{2}}{t}%
\right) \rightarrow +\infty .$

Et on a donc une asymptote verticale d'\'{e}quation $t=0.$

\item $f_{a}$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast }$ en tant que somme de fonctions dérivables et 
\begin{equation*}
f_{a}^{\prime }\left( t\right) =\frac{1}{2}\left( 1-\frac{a^{2}}{t^{2}}%
\right) =\frac{1}{2}\frac{t^{2}-a^{2}}{t^{2}}
\end{equation*}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$t$ & $0$ &  & $a$ &  & $+\infty $ \\ \hline
$t^{2}-a^{2}$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & $2^{nd}$ degr\'{e} \\ \hline
$f_{a}^{\prime }\left( t\right) $ &  & $-$ & $0$ & $+$ &  \\ \hline
$f_{a}\left( t\right) $ & $+\infty $ & $\searrow $ & $a$ & $\nearrow $ & $%
+\infty $ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Comme $f_{a}$ est minimum en $a$ alors

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\forall t>0:f_{a}\left( t\right) \geq
f_{a}\left( a\right) =a$}
\end{enumerate}

\subsection*{Etude de la convergence de la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$}

\begin{enumerate}
\item Dans le cas o\`{u} $u_{0}=a,$ comme $f_{a}\left( a\right) =a,$ on aura
(par r\'{e}currence), $u_{n}=a$ pour tout $n\in \mathbb{N}$

\item On a $f_{a}^{\prime }\left( t\right) =\frac{1}{2}\left( 1-\frac{a^{2}}{%
t^{2}}\right) =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{t^{2}}$ et comme $\frac{%
a^{2}}{t^{2}}>0$ alors $f_{a}^{\prime }\left( t\right) <\frac{1}{2}$

et pour tout $t>a:f_{a}^{\prime }\left( t\right) >0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\forall t>a:0<f_{a}^{\prime }\left( t\right) <%
\frac{1}{2}$}

\item Par r\'{e}currence :

\begin{itemize}
\item $u_{1}\geq f_{a}\left( u_{0}\right) \geq a$ car $f_{a}\left( t\right)
\geq a$ pour tout $t\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }$

\item Soit $n\geq 1$ tel que $u_{n}\geq a$ alors $f_{a}\left( u_{n}\right)
\geq f_{a}\left( a\right) $ car $f_{a}$ est strictement croissante sur $%
\left[ a,+\infty \right[ $. On en déduit alors que $u_{n+1}\geq a$
\end{itemize}

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\forall n\in \mathbb{N}:u_{n}\geq a$}

\item On utilise alors l'in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis, soit
avec la valeur absolue et en s'en d\'{e}barrassant ensuite, soit sans la
valeur absolue :

\begin{itemize}
\item $\forall t\geq a:0\leq f_{a}^{\prime }\left( t\right) \leq \frac{1}{2}$
et \textsl{\ }$\forall n\in \mathbb{N}:u_{n}\geq a$ donc $0\cdot \left(
u_{n}-a\right) \leq f_{a}\left( u_{n}\right) -f_{n}\left( a\right) \leq 
\frac{1}{2}\left( u_{n}-a\right) $

\item $\forall t\geq a:0\leq f_{a}^{\prime }\left( t\right) \leq \frac{1}{2}$
donc $\left \vert f^{\prime }\left( t\right) \right \vert \leq \frac{1}{2}$ et 
$\left \vert f_{a}\left( u_{n}\right) -f_{a}\left( a\right) \right \vert \leq 
\frac{1}{2}\left \vert u_{n}-a\right \vert $ et comme $u_{n}-a\geq 0$ alors $%
\left \vert u_{n}-a\right \vert =u_{n}-a$
\end{itemize}

(la premi\`{e}re est plus coh\'{e}rente avec l'\'{e}nonc\'{e} qui ne demande
qu'ensuite la valeur absolue)

\textsl{Conclusion : }\fbox{$0\leq u_{n+1}-a\leq \frac{1}{2}\left(
u_{n}-a\right) $}

et comme $u_{n}-a\geq 0$ alors $\left \vert u_{n}-a\right \vert =u_{n}-a$ et
par r\'{e}currence :

\begin{itemize}
\item $\left \vert u_{1}-a\right \vert =\left( \frac{1}{2}\right)
^{0}\left \vert u_{1}-a\right \vert $

\item Soit $n\geq 1$ tel que $\left \vert u_{n}-a\right \vert \leq \left( 
\frac{1}{2}\right) ^{n-1}\left \vert u_{1}-a\right \vert $ alors $\left \vert
u_{n+1}-a\right \vert =u_{n+1}-a\leq \frac{1}{2}\left( u_{n}-a\right) \leq 
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}\left \vert u_{1}-a\right \vert $

donc $\left \vert u_{n+1}-a\right \vert \leq \left( \frac{1}{2}\right)
^{n}\left \vert u_{1}-a\right \vert $
\end{itemize}

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\forall n\geq 1:\left \vert u_{n}-a\right \vert
\leq \left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}\left \vert u_{1}-a\right \vert $}

\item Comme $\left \vert \frac{1}{2}\right \vert <1$ alors $\left( \frac{1}{2}%
\right) ^{n-1}\rightarrow 0$ et par encadrement ( $0\leq \left \vert
u_{n}-a\right \vert $) $\left \vert u_{n}-a\right \vert \rightarrow 0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$u_{n}\rightarrow a$ quand $n\rightarrow +\infty 
$}

\item La suite pr\'{e}c\'{e}dente convergera vers $\sqrt{2}$ si $a=\sqrt{2}$
et $a^{2}=2$

Avec $u_{0}=1$. On affiche les termes de $u_{0}$ \`{a} $u_{99}$.

\begin{verbatim}
>> u = zeros(1,100)
>> u(1) = 1
>> for k = 1:99
>>    u(k+1) = (1/2)*(u(k) + 2/(u(k)))
>> end
>> disp(u)
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{document}